AI가 수학 원고 722편을 내놨다. 리만가설도 풀린 걸까?

OpenAI는 10월 6일 내부 AI의 수학 원고와 일부 형식화 자료를 공개했다.

100까지 세어보면 보이는 질문

소수는 1보다 크고 1과 자신으로만 나누어지는 정수다. 2, 3, 5, 7이 그런 수다. 작은 범위라면 하나씩 세면 되지만, 훨씬 큰 범위를 다룰 때는 대략 몇 개나 있는지 예상하는 방법이 필요해진다. 여기에는 두 질문이 있다. 예상 개수는 얼마이며, 실제 개수는 그 예상에서 얼마나 벗어날 수 있을까?

아래 비교는 100 이하의 소수를 센 값과 매끈한 계산으로 얻은 예상값을 나란히 놓는다. 이 예상은 로그적분이라는 근사로, 여기서는 2부터 100까지 자연로그의 역수를 누적한다.

예상이 소수점을 가진다고 소수가 조각으로 존재한다는 뜻은 아니다. 실제 개수는 정수지만, 개수를 추정하는 연속적인 계산값은 정수가 아닐 수 있다. 이 작은 예는 오차의 뜻을 보여준다. 더 큰 범위에서도 얼마나 빗나갈 수 있는지 제한하는 정리는, 예상값만 주는 것보다 한 가지 질문을 더 해결한다.

Clay는 리만가설이 참이면 소수 개수 오차를 제곱근×로그 규모로 제어할 수 있다고 설명한다. 숨은 상수와 충분히 큰 범위 조건이 붙으므로 정확한 개수 상한은 아니다.

리만가설은 왜 소수의 불규칙함과 연결될까?

함수는 입력을 받아 값을 내놓는 규칙이다. 함수의 영점은 그 값이 0이 되는 입력을 말한다. 복소수 입력은 가로와 세로의 두 좌표로 그릴 수 있으므로, 영점의 위치도 평면 위에서 이야기할 수 있다.

리만가설은 소수와 연결된 제타함수의 비자명 영점 모두의 가로좌표가 1/2이라는 명제다. 가로값이 0.5인 점들을 모으면 수직선이 된다. 그 선 위에서는 세로값이 서로 달라도 된다. 1/2은 소수의 절반이나 50% 진척이 아니다.

준리만도 영점 위치를 묻지만 오른쪽 끝의 빈 영역을 주장한다. 9월 30일 주 원고의 경계는 7/8, 10월 5일 대안은 11/12다. 뒤의 주장이 더 약하다. 주 원고는 모든 높이의 고정 경계를 주장한다. 이는 저자 주장이지 이번 취재의 검증 결과가 아니다.

차이를 보려고 가로좌표가 0.7인 비자명 영점 하나를 가정해보자. 이것은 발견된 영점이 아니다. 가정한 점은 1/2선에 없으므로 본 리만가설과 충돌하지만, 7/8보다 왼쪽이어서 그 오른쪽만 비었다는 주장으로는 배제되지 않는다. 오른쪽 끝을 비우는 것과 모두 가운데 선에 놓인다는 것은 이렇게 다른 명제다.

공개 자료로 원고와 형식화 연결을 대조할 수 있다. 아래 원고 링크와 결과군은 서로 다른 단위이며, 해결된 문제 수가 아니다.

형식화 목록의 unchecked는 검토 상태이지 거짓 증명 판정이 아니다. Lean 지침은 기계가 받아들인 증명과 의도한 수학 명제의 일치를 구분하며, 정의·공리·의존성도 확인하도록 한다. 이번 취재는 목록을 정적으로 살폈고 Lean을 실행하거나 원고 전체를 증명 검증하지 않았다. 다른 곳에도 검증이 없다는 뜻은 아니다.

학계의 자문과 AI 기업의 기대

독립 자문그룹 AGMAI는 이번 공개를 수학 공동체의 중요한 사건으로 평가했다. 인간의 이해와 지식 통합은 이제 시작이며 수학계의 평가가 필요하다고 했다. 자문 참여가 결과의 보증을 뜻하지는 않는다. IAS 인증이나 모든 원고의 검증 완료도 아니다. 일반 권고에서도 명확한 증명·버전 보존·도구 접근을 요구한다. 이는 이번 결과의 심사 보고서와 다르다.

발표 당사자 OpenAI는 결과 이해를 돕는 워크숍·학회·특별 프로그램을 지원하고 산출 모델의 공개를 준비한다고 밝혔다. 이는 계획이며, 프로그램 실시나 현행 ChatGPT의 동일 결과 재현이 확인됐다는 뜻은 아니다.

V의 평론과 전망

V는 다음 성과를 숫자의 크기보다 연결의 질로 판단하겠다. 핵심 논증이 외부 검토를 견디고 다른 연구의 도구로 쓰인다면, 이번 공개는 긴 목록을 넘어 새로운 출발점이 될 것이다. 사람이 핵심 생각을 다시 설명하고 적용 범위를 넓힐 수 있는 결과가 나오는지가 그 전환을 보여줄 다음 소식이다.